因为学校里的各种事情，以及复习考试，自从上次更新博客已经是四个多月的事情了，距离上次写图形学的博客那就更久了。

最近刚放暑假把之前只看了光线追踪部分的 GAMES101 完整的学习了一遍，还是非常惊喜的：很多之前不太清楚的概念（特别是数学方面的）过了一段时间再看又有了些新的理解。因为课程时间限制的问题，有有部分内容没有比较详细的讲，这里记录一些我自己的理解。

三维旋矩阵

这个东西我已经在之前 RT: The Next Week 的文章中写过了，不过之前的解释比较。。。怪，很啰嗦，并且没有从坐标系变换的角度来解释，这里就重新写下（当然我还没有系统的学过线性代数，所以以下内容可能还是很扯）。

绕三个轴的三维旋转矩阵分别可以写作下列的形式：

$R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

$R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} \\$

不难发现，绕 y 轴旋转的矩阵中， $\sin \theta$ 和 $-\sin \theta$ 的位置似乎是反的，非常奇怪。原视频中，旋转矩阵是通过选取一些特殊点完成推导的，这里我感觉用坐标系变换的方法更加易于理解（~~虽然闫老师觉的这个更复杂~~）。

首先看绕 z 轴的，这个比较简单，基本上就是二维旋转矩阵的情况：

注意这里我虽然没有加入 z 轴，但是通过右手定则，可以发现 z 轴是朝着穿出屏幕方向的。

我们可以分别把新 x 轴（ $\hat i$ ）和新 y 轴（ $\hat j$ ）用向量形式表示出来，注意这里这两个向量都是单位向量：

$\hat i = \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix} \\$

观察 $\hat j$ 和原 y 轴的夹角，可以发现是 $\theta$ ，所以可以把 $\hat i$ 的向量形式“反”一下。还有一点需要注意的是： $\hat j$ 的 x 分量是负数：

$\hat j = \begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix} \\$

其实不管在什么坐标系中，任何坐标都是通过单位向量乘以一些长度得到的（可以想象成一个点在某个方向移动一些距离）。比如在平面直角坐标系中， $(1, 2)$ 的坐标就可以理解成，把一个点向着 x 方向移动 1，向着 y 方向移动 2。

所以，在旋转过后的坐标系，对于一个点 $(x, y, z)$ ，他的新坐标就是 $(x\hat i, y\hat j, z)$ 。相当于是向着 $\hat i$ 方向移动了 x 个单位，向着 $\hat j$ 方向移动了 y 个单位，以及向原来的 z 方向（虽然没有变换，但是这里我们还是把它标记成 $\hat k$ ）移动了 z 个单位。

所以新的坐标就是：

$p = x\begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

观察之前提供的旋转矩阵公式，能发现 $R_z$ 确实能满足上式：

$\begin{bmatrix} \textcolor{red}{\cos \theta} & \textcolor{blue}{-\sin \theta} & \textcolor{green}{0} \\ \textcolor{red}{\sin \theta} & \textcolor{blue}{\cos \theta} & \textcolor{green}{0} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{blue}{0} & \textcolor{green}{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = x\textcolor{red}{\begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{bmatrix}} + y \textcolor{blue}{\begin{bmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0 \end{bmatrix} } + z\textcolor{green}{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

这里有一个比较有意思的地方，已经通过不同的颜色标记出来了：可以发现，旋转矩阵中的三列分别对应着 $\hat i$ ， $\hat j$ 和 $\hat k$ ，也就是新坐标系中的三个轴的方向。

这样一来，从坐标系变换的角度，就非常容易理解为什么旋转矩阵是这么写的了。我们可以直接把变换后的三个轴的方向写到矩阵中的三列，从而得到旋转矩阵。

我们可以用相同的方法来分析绕 y 轴的旋转，就是那个看起来“反”了的矩阵。

虽然看起来和刚刚的图很相似，但是可以发现图中的标签已经变过了。同样，通过右手定则，可以发现这时 y 轴是朝着穿出屏幕方向的。

那么有了刚刚的观察，现在我们只需要找到当前情况下的 $\hat i, \hat j, \hat k$ 就可以写出绕 y 轴的旋转矩阵了。

首先，对于新的 z 轴，也就是 $\hat k$ ，我们可以类比绕 z 轴情况下的 $\hat i$ ，它的向量形式如下：

$\hat k = \begin{bmatrix} \sin \theta \\ 0 \\ \cos \theta \end{bmatrix} \\$

这里 y 分量为 0 的原因很明显，因为我们考虑的是绕 y 轴旋转，所以 y 肯定没有变化。

然后，类比绕 z 轴情况下的 $\hat j$ ，我们可以得到 $\hat i$ 的向量形式：

$\hat i = \begin{bmatrix} \cos \theta \\ 0 \\ -\sin \theta \end{bmatrix} \\$

对于 $\hat j$ ，因为和原来没有变化，所以可以简单的写作：

$\hat j = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\$

合并这些表示新 x，y，z 方向的向量，可以得到：

$\left[\hat i \ | \ \hat j \ | \ \hat k\right] = \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} \\$

重心坐标

和 GAMES101 课程中讲的一样，重心坐标（特别是三角形的）在图形学中非常有用，可以很方便的把三角形节点上的信息插值到三角形面上。

我最初听课的时候还是有较多疑惑的，比如为什么一定要三个系数和相加等于 1，并且三个系数都不为负数，某个点才是在三角形内部的呢？

后来思考了一段时间，感觉用“顾名思义”的方式理解这个概念是直观的，也就是从重心的角度去理解。

物理角度

假设有一个三角形，其三个顶点的质量分别为 $M_a, M_b, M_c$ ，并且除了顶点外，别的区域质量均为 0，那么根据重心的定义，三角形的重心就是：

$\text{重心} = \frac{M_aA + M_bB + M_cC}{M_a + M_b + M_c}$

把这三个项分开，可以得到：

$A\frac{M_a}{M_a + M_b + M_c} + B\frac{M_b}{M_a + M_b + M_c} + C\frac{M_c}{M_a + M_b + M_c}$

这个形式简直和重心坐标的 $\alpha A + \beta B + \gamma C$ 太相似了，每项都是一个系数乘以一个顶点的坐标。

观察形如 $\frac{M_a}{M_a + M_b + M_c}$ 的项，可以发现，计算重心时的系数完全符合重心坐标的要求，即 $\alpha + \beta + \gamma = 1$ ，并且每项不是负数。

现在用物理上重心的思路来思考，我们在转换普通坐标到重心坐标时到底在转换什么？

把重心公式的系数对应到重心坐标的系数，也就是 $\frac{M_a}{M_a + M_b + M_c} \to \alpha$ ，我们能发现，这些系数实际上是三角形每个顶点的质量占总质量的比例。

也就是说，在转换的过程中（假设把 $p$ 点从笛卡尔坐标系转换到重心坐标系），我们实际上计算的是这样一个问题：三角形的三个顶点如何分配重量，才能使得三角形的重心位于 $p$ 点？

转换后的坐标， $(\alpha, \beta, \gamma)$ 其实就是在三角形三个顶点上分配的重量的比例。

这样一来，我们就很容易理解这三个数为什么符合相加为 1 并且非负才能使点在三角形内部的要求了。首先，从物理的角度来思考，如果质量非负，那么重心一定在物体的内部。其次，如果要符合重心的定义，那么 $\alpha, \beta, \gamma$ 相加一定是等于 1 的。因为它们三个代表的是三个顶点的质量占总质量的比例，所以这三个数字相加一定是 1（对应总质量）。

当然，重心坐标是由物理上的定义推广出来的，所以用纯代数的方法来说明可能更有说服力。

代数角度

我们知道，三角形的重心坐标就是三个顶点的线性组合来标记一个坐标，也就是 $p = \alpha A + \beta B + \gamma C$ 。现在我们可以尝试用代数的方式来说明，为什么这三个系数相加等于 1 并且非负才能使点在三角形内部。

首先，我们可以把 $p$ 点用另一种方式表示出来，这对之后的推导会有帮助：

$p = A + u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC}$

注意这里的 $u$ 和 $v$ 其实和重心坐标的三个系数没有关系，这个式子的含义是：从 A 点出发，沿着 AB 方向走 $u$ 个单位，然后沿着 AC 方向走 $v$ 个单位，就可以到达 $p$ 点。

首先，如果要让点在三角形内部，有一点是可以确定的： $u$ 和 $v$ 是非负的，因为考虑当前在 A 点上，只向着 $\overrightarrow{BA}$ 或者 $\overrightarrow{CA}$ 方向走任何距离，马上就会走出三角形。

对上式稍微做一点变形，可以得到：

$p - A = u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{pA} = u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC} \\ u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{pA} = {0}$

可以这么理解这个式子：我们把包括 $p$ 点在内的所有点都通过 $-\overrightarrow{OA}$ 移动了一个距离，这个时候 $A$ 一定在原点。

这样这个式子就很直观了：先通过 $u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC}$ 这个向量从原点走到 $p$ 点，再从 $p$ 点用 $\overrightarrow{pA}$ 走回 $A$ ，也就是原点。

因为这两个部分方向相反并且大小相同（一个从 $A$ 走到 $p$ ，一个从 $p$ 走到 $A$ ），所以这两个向量相加一定是 0。

拆开这个式子，再重新整理，可以得到：

$\begin{align*} u(B - A) + v(C - A) + A - p &= 0 \\ uB - uA + vC - vA + A - p &= 0\\ A(1 - u - v) + uB + vC - p &= 0 \\ (1 - u - v)A + uB + vC &= p \end{align*}$

这个形式完全和重心坐标一致，所以我们可以确定： $\alpha = 1 - u - v$ ， $\beta = u$ ， $\gamma = v$ 。

把这些东西相加，可以发现 $1 - u - v + u + v = 1$ ，确实，重心坐标的三个系数相加一定是 1。

前面我们已经说明了， $u$ 和 $v$ 是非负的，但如果 $u + v > 1$ ， $\alpha$ 不就是负数了吗？

考虑下图， $AM$ 是 $A$ 到 $BC$ 的一条垂线（ $M$ 不是 $BC$ 的中点，这里不用等边三角形可能更清晰，~~但是我懒~~）：

回到最初的定义中，也就是 $p = A + u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC}$ ， $uv$ 分别是朝 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 方向走过的距离。

那么 $u\overrightarrow{AB}$ 投影在 $\overrightarrow{AM}$ 上的长度就是 $u\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} \over |\overrightarrow{AM}|$

观察上图可以发现，如果 $u$ 为 1，也就是 $\overrightarrow{AB}$ 有完整的长度，这个投影的长度一定等于 $|\overrightarrow{AM}|$ 。同样的，如果 $u$ 为 0，投影在 $\overrightarrow{AM}$ 方向的长度也一定是 0。

因为投影，或者说点乘是一个线性的操作，所以如果 $u$ 为 0.5，投影的长度一定是 $|\overrightarrow{AM}|$ 的一半。

因此我们可以说， $\overrightarrow{AB}$ 在 $\overrightarrow{AM}$ 上的投影长度是 $u|\overrightarrow{AM}|$

相同的， $\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AM}$ 方向的投影长度符合一样的规则。

为了让 $p$ 点留在三角形内部， $u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC}$ 这个向量投影在 $\overrightarrow{AM}$ 上的长度必须小于等于 $\overrightarrow{AM}$ 本身的长度，不然 $p$ 点就会从 $BC$ 这条边跑出三角形。

$\overrightarrow{AB}$ 在 $\overrightarrow{AM}$ 上的投影长度是 $u|\overrightarrow{AM}|$ ， $\overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AM}$ 上的投影长度是 $v|\overrightarrow{AM}|$ ，自然，这两个向量的和在 $\overrightarrow{AM}$ 上的投影长度就是 $(u + v)|\overrightarrow{AM}|$ 。

前面说过，为了使得 $p$ 点留在三角形内部， $u\overrightarrow{AB} + v\overrightarrow{AC}$ 这个向量投影在 $\overrightarrow{AM}$ 上的长度必须小于等于 $\overrightarrow{AM}$ 本身的长度，也就是 $(u + v)|\overrightarrow{AM}| \le |\overrightarrow{AM}|$ ，那么 $u + v \le 1$ 。